28-летняя Морозова в детстве часто играла в футбол с мальчишками. Родители поддержали увлечение и отдали ее в секцию «Енисея». В 2011 году, когда Наталье было 16 лет, она впервые заключила профессиональный контракт. Платили по нему пять тысяч рублей. С первой зарплаты Морозова сделала первую татуировку, и с тех пор изображений на теле у нее появилось еще много.
С Натальей в составе «Енисей» в первый же год поднялся в высший дивизион. Она играла за красноярок до 2019 года, а затем пошла на повышение в московский «Локомотив». Самым успешным стал 2021 год, на который пришлись чемпионство и дебют в сборной России.
Этот год футболистка начала в «Спартаке». Главный тренер красно-белых Вадим Козлов хвалит ее за атлетизм и неуступчивость в единоборствах. Морозова придает обороне спокойствие и уверенность, грамотно выбирает позицию. Кроме того, она опасна при стандартах у чужих ворот.
В первых двух играх «Спартак» голов не забивал, зато в третьем туре отгрузил «Крыльям Советов» аж шесть. Автором первого гола в истории клуба стала именно Морозова.